这里α和β 不一定要正万博体育app安卓交

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文章关键词:万博体育app安卓,特殊复正交群

  §3.3 正交群、幺模群和Euler转动 一、正交群 ? 一个转动可用三个实数表征:转轴的极面角和方位 角,以及转角。可方便地用3×3正交矩阵R描述: 不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。 ? 由于RRT=RTR=1 相当于6个独立方程,这3×3正交 矩阵的9个元素只有3个是独立的。 ? 正交矩阵乘法运算的集合构成一个群,该群叫SO(3) 群。这里S表示特殊,即只考虑了转动,而无反演; O表示正交,即RRT=1;而3表示空间维数。 SO(3)群的基本性质 所有正交矩阵(R)乘法运算的集合满足四要素: 1. 封闭性:两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵 T (R1R 2 )(R1R 2 ) T ? R1R 2 R T R 2 1 ?1 2.结合律: R1 (R 2 R 3 ) ? (R1R 2 )R 3 这是矩阵代数的结果 3.有单位矩阵(对应于无转动):R1=1R=R 4.有逆存在(对应于相反角度的转动): RR ?1 ? R ?1R ? 1 二、幺模群 ? 对二分量旋量χ,可用一个2×2矩阵的作用来表征 一个任意转动: U= ? ? 该矩阵显然是幺正的(UU+=1),不改变χ的模。 幺模矩阵:行列式为1的幺正矩阵。幺模矩阵的一般 形式为: 且 U(a,b)的行列式显然为1 ,且是幺正的: ? ? 对比U与U(a,b),知U为幺模矩阵,对应于: ? 幺模矩阵的集合所构成的群称为SU(2)群。 S:特殊,即模为1;U:幺正。 1)封闭性: 2)逆: ? 2维幺正矩阵构成U(2)群(有4个独立参数): SU(2)与SO(3)的关系 ? 虽然SU(2)与SO(3)均表征转动,万博体育app安卓但非同构,即SU(2) 与SO(3)不是一一对应的。其实,SU(2)与SO(3)的 对应是二对一的,即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个 SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2π对应于-1,转4π对 应于1,但SO(3)中转2π和4π都对应于1,把U(a,b) 和U(-a,-b)分开看,则可认为SO(3) 与SU(2)局部同 构。 三、Euler转动 三维空间的最一般转动 也可用三个相继Euler 转动表征: 1)将刚体绕z轴转α角.空间 坐标轴与刚体坐标轴在 转动前是重合的,转动 后刚体y轴变为y’轴 2)使刚体绕y’轴转β 角, 刚体z轴变为z’轴 3)使刚体绕z’轴转γ角,y’ 轴变为y’’轴。 用3×3正交矩阵描述这三 个Euler转动,结果为: ? 化关于刚体轴y’、z’的操作为关于空间固定轴的操作 ? y’与y差α角,绕y’转β 角可等价为:先用Rz(-α)将y’转 回到y,然后绕y转β 角,再将y转回到y’轴,即 上式左右两边对y’轴效果自然相同,对z?z’’(z’)的操 作也相同,即上式对刚体的两非平行轴等价。 类似可证: 于是,描述3个Euler转动的正交矩阵为: ? ? ? ? 即: 对应Euler转动的转动算符 ? 与正交矩阵的乘积对应,存在相应转动算符的乘积: 对自旋1/2体系为 ? ? ? 该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。 上式的exp(-iσ2β)矩阵是唯一含非对角元的,且非对 角元是纯实数。 ? 是转动算符D(α,β,γ)的j=1/2 的不可约表示,其矩阵元记为 §3.4 密度算符与混合系综 一、极化与非极化粒子束 ? 前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组成 的系综的统计预言,系综粒子均由态矢α表征。 ? 对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综,前面讨 论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来 的Ag原子,其自旋朝向是随机的。按前描述任意态 的方法, ? 所描述的态有特定自旋方向,其极角β 和方位角α由 决定,故不能描述自旋无特定方向的体系系综。 二、分数分布 ? ? ? ? 自旋朝向无规的系综可看作由50%+和50%-的粒 子组成,可用布居数(几率权重)w+=0.5和w-=0.5描述 注意:1)系综的分解常常是不唯一的,如上述体系 也可看作由50%Sx+和50%Sx-组成。 2)几率权重( w+,w-)是实数,没有关于不同态的相 对相位的信息,用于描述不同态的非相干混合态。 3)不能混淆w+ (w-)和c+2 (c-2), c+2 (c-2)包含了重 要的相位信息,用于描述态的相干线性叠加,如 ,该相干叠加的结果是Sx+态。 w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿。 ? 三、非极化、部分极化和完全极化 ? ? ? ? SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的 例子,原子束被称为是非极化的,自旋无特定方向。 经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化 的,自旋有特定朝向。 完全随机系统和纯系统是混合系统的两极端例子。如 一混合系统中有70%的态由α描述,而30%由β 描 述,则称为部分极化的。这里α和β 不一定要正交。 例如, α是Sx+,而β 是Sz- 。 非纯系综必须用分数分布数描述(分布数一般不唯一, 但要满足描述系综总体性质的要求) 四、系综平均 ? 1) 2) 3) ? 混合系综可看作纯系综α(i)的混合叠加。 分数分布要满足归一条件: 不同态α(i)不必正交 i的数目可大于态空间的维数。例如一系综可由40% Sz+ 、30% Sx-和30%Sy-组成. 对混合系综测量A,测量的统计结果是A的系综平均 ? A? ? ? ?i i ? ?i ? A? ?i ? ? ?? ?i a ? i a ?i ? 2 a? ? 这里a’是A的本征矢。由于α(i)Aα(i)是A在态α(i) 的期待值,系综平均要对期待值作权重平均,即几 率概念出现两次:一是在态α(i)找到A本征态的量子 力学几率,二是α(i)在系综的几率权重。 五、密度算符 ? 利用一般基求A的系综平均: ? ? 对b’或b’’的求和项数是态矢空间的维数,而i的项数则 与混合系统被看作由怎样的纯态混合而成有关。 定义与特定观测量A无关的系综密度算符: 其矩阵表示即密度矩阵的矩阵元为 ? ? 密度算符包含了所讨论系综的所有物理信息。 ? 观测量的系综平均 ? 由于迹与表象无关,可在任意方便的基中计 算,因而上式是非常有用的。 六、密度算符的基本性质 1)厄米性:ρ+ =ρ 2)满足归一化条件: i i i i Tr ? ? ? ? ???i b? ? ? ? ? ? ? b? ? ??i ? ? ? ? ? ? ? 1 i b? i 由于厄米性及归一条件,对自旋1/2的体系,密度 算符的矩阵表示由3个独立参量描述,这是因为 厄米矩阵由四实数表述,而归一性将独立参数数 降为3。所需三个参数是[Sx], [Sy]和[Sz]。 七、纯态系综的密度算符 ? 纯系综由某i=n的wi=1和所有其他wi=0描述,对应的密度 算符为: 纯系综的ρ具有等幂性: ρ2 =ρ (故Tr(ρ2)=1), ρ(ρ-1)=0 ρ对角化时有ρii (ρii-1)=0,即ρii =1或ρii =0,ρ具有形式: ? ? ? 可以证明,纯系综的Tr(ρ2)=1为极大,任何混合系统的 Tr(ρ2)1 。 八、密度算符在给定基下的矩阵表示 ? 上式其实给出了密度矩阵的算法。下面以自旋1/2体系 在Sz表象为例。 ? ? ?1? ?1 0? ? ? ?1 0 ? ? ? ? 0 0 0 ? ? ? ? 1)对纯Sz+系综: ? ? 2)纯Sx±系综: 3)对完全非极化系综,将其看作50%+和50%-的非 ?1 ? 0 相干组合,则 : ? 1 ? ? ? 1 1 ??? ? ? ? ? ? ? ??2 2 ? ?2? ?0 ? ?? ? 1? 2 ? 2? ?[S]=0 4)由75%Sz+与25%Sx+组成的部分极化系综 ?1 3 ?1 0? 1 ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? 4 ? 0 0? 4 ? 1 ? ?2 1? ?7 ? ? 2? ? ?8 1? ?1 ? ? 2? ?8 1? ? 8? 1? ? 8? 容易求得:? S ? ? , ? S ? ? 0, ? S ? ? 3 x y z 8 ? ? 8 注:给定ρ,其对纯系综的分解可以是多样化的。 九、系综的时间演化 ? 对 ,若系综不受干扰,则wi不 变,万博体育app安卓系综的时间演化由态矢α(i)的时间演化决定, ? 这方程形式与Heisenberg运动方程反号。但这并不矛 盾,因ρ不是Heisenberg图象中的动力学观测量。其 实,ρ是由Schr?dinger图象中的态矢组成的,而态矢 则是按Schr?dinger方程演化的。 十、连续谱空间中的密度算符 ? 对应于连续本征谱的态矢,则 此时密度矩阵实际上是x’和x’’的函数,即 ? ? ? i(x’)是对应于α(i)的波函数。 ρ的对角元素是几率密度的权重和(可见密度矩阵这 一名称很合适)。 十一、密度算符与量子统计力学 ? 对完全随机的系综,密度矩阵在任何表象中均有: ? ? 该ρ与纯系综的ρ很不相同。 为定量表征不同系综的ρ,定义σ为: ? 在ρ本征态为基矢时 十二、熵 ? ? 由于 0 ? ?kk ding ? 1 ,σ是半正定的(σ≥0)。 对完全随机系综 对纯系综,σ =0 可见σ可作为体系无序度的定量表征:纯系综完全有 序,既无序度为零;随机系统完全无序,故σ是个大 数。其实,在归一化限制下,ln(N)是σ的最大值。 在热力学中,熵是度量无序度的。熵(S)与σ的关系 为,S=kσ,k为Boltzmann常数。 S=kσ可看作是量子统计力学中熵的定义。 ? ? ? ? 十三、热平衡系综的密度矩阵 ? ? 对具有确定[H]的系综,热平衡时σ取极大:δσ=0.因?ρ/ ? t=0,ρ与H可同时对角化,可用H的本征态为基. 粒子的平均内能:[H]=Tr(ρH)=U ? ? ? ? 由 用Lagranger乘子法可得 其解为, 利用归一化条件有 对应于能量本征态Ek的几率分布。万博体育app安卓 上述体系对应于统计力学的正则系统,体系能量确定 ? ? ? ? 若对上述体系除去内能一定的限制,则得(对任 意k):ρkk=1/N 对应于完全随机的系综,与β -0(即T?∞)的 正则系综分布相同 十四、配分函数 ? ρkk的分母为 是统计力学中的配分函数,可写为 ? ? ρ在能量本征态基中可写为 据此可得体系的所有性质, ? A? ? tr ? e ?? H Z A? ? ? k N A k e? ? Ek N k ? Ek ? 对A=H,有 U? ?E e k k N k N ?e ? ? ? Ek ? ? Ek e ? ? ?? (ln Z ) ?? ? 与统计力学的对应知β =1/kT.

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